Докажите, что средняя скорость при равноускоренном движении V=s/t является медианой в треугольнике скоростей V_k = V₀ + gt. Перемещение за время t движения задаётся уравнением S = V₀t + gt²/2.

Докажите, что квадраты конечной скорости и начальной скорости связаны только через разность высот начальной и конечной точки и не зависят от углов V_k²= V₀² – 2gH

Докажите, что площадь треугольника скоростей равна половине произведения дальности полета на ускорение свободного падения S_∆ = Lg/2

Докажите, что соответствующие половинки треугольников скоростей для настильной и навесной траектории равны. Используйте признак равенства равновеликих треугольников: «два равновеликих треугольника с равным углом и равной противоположной стороной равны».

Если задан угол треугольника и противолежащая к этому углу сторона, то максимальная площадь достигается в случае равнобедренного треугольника.

Если задана площадь и угол треугольника, то минимально возможная противолежащая к этому углу сторона достигается в случае равнобедренного треугольника.

Кот Леопольд, находясь на крыше дома, два раза выстрелил в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями камушками из рогатки. Перед падением на землю скорости камушков были направлены перпендикулярно друг другу. Определите высоту h дома, если известно, что суммарное время полёта камушков t₀=3c, а времена их движения отличаются в два раза. С какой скоростью камушки были выпущены из рогатки? (ВсОШ, 2021, Региональный этап, 9 кл)

Небольшую петарду подвесили на нити на высоте H над горизонтальной поверхностью. В результате взрыва она распалась на два осколка, которые полетели в противоположные стороны с одинаковыми начальными скоростями V₀, направленными вдоль одной прямой. Какое наибольшее расстояние L может оказаться между осколками после их падения? С места падения осколки не смещаются. (ВсОШ, 2017, Региональный этап, 9 кл)

Докажите с помощью треугольника скоростей, что:
1) в точке границы досягаемости скорость V_k всегда перпендикулярна скорости броска V₀ и является касательной к границе досягаемости;
2) скорость V₀ и V_k всегда направлены по биссектрисе между вертикалью и вектором перемещения, проведенным в точку границы досягаемости;
3) сумма модуля вектора перемещения S и высоты h для любой точки границы досягаемости – величина постоянная и прямо пропорциональна квадрату скорости броска;
4) граница досягаемости представляет собой параболоид (определите положение его фокуса, директрисы, величину фокального параметра).

С некоторой высоты бросили горизонтально тело. Известно, что нулевой уровень потенциальной энергии откалиброван так, что потенциальная энергия равна кинетической энергии брошенного тела (Е_К = Е_П):

1) под каким углом тело пересечет нулевой уровень потенциальной энергии;

2) докажите, что высота Н_max, соответствующая уровню полной механической энергии, в два раза больше высоты Н горизонтального броска (Н_max=2H);

3) докажите, что дальность полета по горизонтали до точки пересечения уровня нулевой потенциальной энергии телом также равна H_max (L=2Н);

4) докажите, что сумма радиус-вектора, проведенного из точки (0;0), и высоты, на которой находится в данный момент тело, величина постоянная и равная Н_max (r+h= Н_max);

5) докажите, что радиус-вектор, проведенный из точки (0;0), по модулю равен квадрату скорости тела в данный момент времени деленной на 2g (r=v² /2g);

6) докажите, что расстояние от тела до уровня полной механической энергии в любой момент времени равно модулю радиус-вектора, проведенного из точки (0;0);

7) докажите, что скорость тела V в данный момент времени всегда направлена по биссектрисе угла между вертикалью и радиус-вектором, проведенным из точки (0;0);

8) определите зависимость радиус-вектора, проведенного из точки (0;0), от угла между вертикалью и этим радиус вектором;

9) где находится фокус параболы, по которой движется тело, и где находится её директриса.

Дана вертикаль, две точки в пространстве и отрезок длинной v²/2g. Определите геометрически, где расположена максимальная высота подъема тела, пролетающего через эти две точки, где V – это скорость одной из точек. Рассмотрите все принципиально различные ситуации.

Докажите теорему 7 используя геометрические свойства парабол.

При осаде древней крепости осаждённые вели стрельбу по наступающему противнику с помощью катапульт из-за крепостной стены высотой h=20,4 м. Начальная скорость снарядов V₀=25 м/с. На каком максимальном расстоянии L_max от стены находились цели, которых могли достигать снаряды катапульт? (ВсОШ, 2004, финал, 9кл)

Склон горы составляет угол α с горизонтом. На какое максимальное расстояние вниз вдоль склона можно забросить камень, если его начальная скорость равна V₀?

С какой минимальной скоростью следует бросить камень с горизонтальной поверхности земли, чтобы он смог перелететь через дом с покатой крышей длинной S? Ближайшая стена имеет высоту h, задняя слева — высоту H.

В открытой прямоугольной коробке сидит кузнечик, который умеет прыгать с начальной скоростью V₀=3 м/с под любым углом к горизонту. На какой минимальный угол к горизонту нужно наклонить коробку, чтобы кузнечик смог из неё выпрыгнуть? Считать, что каждая грань коробки является квадратом со стороной h=52 см. (МОШ, 2008, 10)

Плоская поверхность горы наклонена под углом α=30⁰ к горизонту. Перпендикулярно поверхности установлен тонкий забор, высшая точка которого находится на расстоянии h=7 м от поверхности горы. Требуется перебросить через забор маленький камень, бросив его с поверхности горы. Найдите минимальную начальную скорость, при которой это можно сделать, если место броска и направление начальной скорости можно выбирать произвольно. («Физтех», 2011, 10 кл)

C вершины купола, имеющего форму полусферы радиуса R и стоящего на горизонтальной поверхности земли, бросают камень. С какой минимальной скоростью V₀ можно бросить, чтобы в процессе своего полёта он не ударился о поверхность купола? Под каким углом a к горизонту его следует бросать при этом? (IPhO 2012)

В боковой вертикальной стенке широкого сосуда с водой, заполненным до уровня H, имеется небольшое отверстие, расположенное на расстоянии h от поверхности воды в сосуде. Стенка сосуда находится у подножия холма, плоский склон которого направлен под углом α к горизонту. Чему должна быть равна высота h, чтобы дальность полета струи воды, вытекающей из отверстия, была максимальна (фольклор для α=0).